Gödels Unvollständigkeitssatz in der Physik
Gödels erster Unvollständigkeitssatz besagt, dass jedes formale System, das widerspruchsfrei ist und das gewisse elementare Arithmetik erlaubt, unvollständig ist bezüglich der Aussagen dieser Arithmetik. Für ZFC, das Axiomensystem, das die Grundlage für große Teile der Mathematik und damit auch für den mathematischen Teil der Physik bildet, sind die Voraussetzungen für Gödels Unvollständigkeitssatz erfüllt: Wenn das System widerspruchsfrei ist, so ist es unvollständig bezüglich seiner arithmetischen Aussagen. Was bedeutet das für die Physik?
Stanley Jaki und Stephen Hawking argumentieren, dass Gödels Satz (bzw. eine Analogie dazu) impliziert, dass es niemals eine Theory of Everything (TOE) geben kann, eine vereinheitlichte Theorie, die alle physikalischen Phänomene verknüpft und erklärt.
Torkel Franzen dagegen bezweifelt in [1] die Relevanz der arithmetischen Unvollständigkeit für die Aussagen einer solchen Theorie:
Gödel’s theorem only tells us that there is an incompleteness in the arithmetical component of the theory. The basic equations of physics, whatever they may be, cannot indeed decide every arithmetical statement, but whether or not they are complete considered as a description of the physical world, and what completeness might mean in such a case, is not something that the incompleteness theorem tells us anything about.
Die Gödelsche Unvollständigkeit eines formalen Systems bedeutet, dass das System Sätze enthält, die als Aussagen über die natürlichen Zahlen interpretiert werden können und für die aus den Axiomen weder die Sätze selbst noch deren Negationen abgeleitet werden können. Eine widerspruchsfreie TOE, die gewisse elementare Arithmetik erlaubt, würde damit manche Gleichungen prinzipiell nicht entscheiden können.
Die physikalische Welt an sich kennt keinen Status “unentscheidbar” — könnte eine TOE dann nicht ebenfalls ohne einen solchen auskommen? Das würde bedeuten, dass mindestens eine der beiden Voraussetzungen für Gödels Satz in dieser Theorie nicht erfüllt wäre. Da die physikalische Welt auch den Status “widersprüchlich” nicht kennt, bliebe nur, die Annahme aufzugeben, dass die TOE gewisse elementare Arithmetik enthält. Das heißt: Sie dürfte unter keiner Interpretation eine Theorie der natürlichen Zahlen enthalten.
Was bleibt? Erstaunlich viel. Es gibt beispielsweise ein Axiomensystem für die elementare Arithmetik der reellen Zahlen, das vollständig und widerspruchsfrei ist! Die Axiome dieses Systems ermöglichen es nicht, die natürlichen Zahlen als Untermenge herauszupicken. Aber braucht die Physik die natürlichen Zahlen und deren Mathematik? Anders gefragt: Kennt die wirkliche Welt natürliche Zahlen?
Ursprung der Idee: Diskussion im Seminar Weltbilder der Naturwissenschaft nach Lektüre von [1] Gödel’s Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse.
Artikel
Tut sie nicht?
Die Quantenmechanik ist (so, wie wir sie heute kennen) mit Mitteln der Arithmetik nicht erfassbar, unsere Argumentationsfähigkeit endet bei Wahrscheinlichkeiten. Ein Chaospendel wird im Allgemeinen als deterministisch betrachtet, allerdings ist es strenggenommen ab einem gewissen Komplexitätsgrad des umliegenden Magnetfeldes und unter der Annahme, dass man den Vorgang, dass ein Atom einer festgelegten Menge eines Stoffes in einem bestimmten Zeitraum zerfällt, wirklich als zufällig betrachten kann, wirklich durch Zufall bestimmt. Weil das Magnetfeld so fein strukturiert sein kann, dass ein einzelner Atomzerfall bereits Auswirkungen auf die Bahn des Pendels hat.
Es bleibt weiterhin zu bezweifeln, dass Gödels Satz Auswirkungen darauf hat, ob eine TOE möglich ist – zum Beispiel eben weil noch gar nicht feststeht, dass die Mathematik, die wir heute kennen, die richtige ist, um die Vorgänge in der Natur zu beschreiben und in der “besseren” Mathematik nicht unbedingt die Voraussetzungen gegeben sind, um Gödels Satz konstruieren zu können. Aber auch, weil Unvollständigkeit an Informationen in der Physik gar nicht so weit hergeholt ist. Und weil zur Konstruktion von Gödels Satz Aussagen notwendig sind, die sich auf sich selbst beziehen, und eine solche logische Schleife in der Physik etwas schwieriger zu konstruieren ist als in der Logik, da diese sich im Allgemeinen eher mit Materie und Energie als mit abstrakter Information befasst.
(Ich hasse dich dafür, dass du dich nicht langfristig damit zufrieden geben kannst, über etwas nachzudenken, das absolut gar nichts mit dem zu tun hat, über das ich nachdenke.)
Ich wusste, dass jemand den Satz zitieren würde und dass im nächsten Satz das Wort “Quantenmechanik” vorkommen würde :). Wenn man an nichtreduzierbaren Zufall glaubt, könnte die Nichtentscheidbarkeit von Aussagen tatsächlich mit der Nichtableitbarkeit aus Anfangsbedingungen identifizierbar sein. Alternative: Many Worlds.