Gödels erster Unvollständigkeitssatz besagt, dass jedes formale System, das widerspruchsfrei ist und das gewisse elementare Arithmetik erlaubt, unvollständig ist bezüglich der Aussagen dieser Arithmetik. Für ZFC, das Axiomensystem, das die Grundlage für große Teile der Mathematik und damit auch für den mathematischen Teil der Physik bildet, sind die Voraussetzungen für Gödels Unvollständigkeitssatz erfüllt: Wenn das System widerspruchsfrei ist, so ist es unvollständig bezüglich seiner arithmetischen Aussagen. Was bedeutet das für die Physik?

Stanley Jaki und Stephen Hawking argumentieren, dass Gödels Satz (bzw. eine Analogie dazu) impliziert, dass es niemals eine Theory of Everything (TOE) geben kann, eine vereinheitlichte Theorie, die alle physikalischen Phänomene verknüpft und erklärt.

Torkel Franzen dagegen bezweifelt in [1] die Relevanz der arithmetischen Unvollständigkeit für die Aussagen einer solchen Theorie:

Gödel’s theorem only tells us that there is an incompleteness in the arithmetical component of the theory. The basic equations of physics, whatever they may be, cannot indeed decide every arithmetical statement, but whether or not they are complete considered as a description of the physical world, and what completeness might mean in such a case, is not something that the incompleteness theorem tells us anything about.

Die Gödelsche Unvollständigkeit eines formalen Systems bedeutet, dass das System Sätze enthält, die als Aussagen über die natürlichen Zahlen interpretiert werden können und für die aus den Axiomen weder die Sätze selbst noch deren Negationen abgeleitet werden können. Eine widerspruchsfreie TOE, die gewisse elementare Arithmetik erlaubt, würde damit manche Gleichungen prinzipiell nicht entscheiden können.

Die physikalische Welt an sich kennt keinen Status “unentscheidbar” — könnte eine TOE dann nicht ebenfalls ohne einen solchen auskommen? Das würde bedeuten, dass mindestens eine der beiden Voraussetzungen für Gödels Satz in dieser Theorie nicht erfüllt wäre. Da die physikalische Welt auch den Status “widersprüchlich” nicht kennt, bliebe nur, die Annahme aufzugeben, dass die TOE gewisse elementare Arithmetik enthält. Das heißt: Sie dürfte unter keiner Interpretation eine Theorie der natürlichen Zahlen enthalten.

Was bleibt? Erstaunlich viel. Es gibt beispielsweise ein Axiomensystem für die elementare Arithmetik der reellen Zahlen, das vollständig und widerspruchsfrei ist! Die Axiome dieses Systems ermöglichen es nicht, die natürlichen Zahlen als Untermenge herauszupicken. Aber braucht die Physik die natürlichen Zahlen und deren Mathematik? Anders gefragt: Kennt die wirkliche Welt natürliche Zahlen?

Ursprung der Idee: Diskussion im Seminar Weltbilder der Naturwissenschaft nach Lektüre von [1] Gödel’s Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse.

Lukas Biewald, ehemals NLP-Forscher im Stanford AI Lab:

My job title is “Scientist”, but I never use the scientific method, at least as I remember it from 6th grade earth science where you make a hypothesis and test it with an experiment. Instead I mostly mine through data and look for patterns.

In der experimentellen Neurobiologie sieht es genauso aus, auch wenn wissenschaftliche Veröffentlichungen hier noch immer nach dem Muster “Wir hatten folgende Hypothese, haben Sie überprüft und sie hat sich als wahr herausgestellt” gestrickt sind. Mit dem tatsächlichen Alltag eines Wissenschaftlers hat das wenig gemein.

Dass die herkömmliche wissenschaftliche Methode brauchbar ist, wenn man die Wahrheit dessen überprüfen will, was man zu wissen glaubt, aber dass sie einem nicht sagen kann, wohin man gehen soll, wusste schon Robert M. Pirsig. Das ist nicht neu.

Neu ist, dass das Aufstellen von Hypothesen mehr und mehr automatisisert wird.

Es braucht etwa 100 Zeilen Python-Code, um die Geschichte aller möglichen berechenbaren Universen zu berechnen. 100 Zeilen, um alles zu berechnen, was je berechnet werden kann. Die Physik unseres Universums ist möglicherweise berechenbar.

Was, wenn sich erweist, dass die am besten mit der Realität übereinstimmenden physikalischen Theorien die sind, die berechenbar sind? Wir können simulieren, wie Billardkugeln zusammenstoßen und welche sich wohin bewegt. Ein simulierter Zusammenstoß ist kein echter Zusammenstoß. Für uns. Für ein simuliertes Wesen? Führt die Simulation eines bewussten physikalischen Systems zu Bewusstsein?

Die Individualität einer Person ist vom Muster des Zusammenspiels der Materie abhängig, nicht von der Materie selbst. Die Atome jeder Zelle werden nach der Geburt eines Menschen viele Male ausgetauscht. Quantenphysikalisch gesehen sind zwei Teilchen einer Art sowieso nicht nur nicht unterscheidbar, sondern identisch. Wenn alle Protonen eines Körpers durch "andere" Protonen ersetzt werden, so hat das den Zustand nicht verändert. Teilchen haben keine Identität.

Wenn die Physik unseres Universums berechenbar ist oder es keinen subjektiven Unterschied zwischen Bewusstsein und der Simulation von Bewusstsein gibt, so resultiert die Ausführung eines solchen Programms (ein "Universal Dovetailer") in allen bewussten Erfahrungen, die je ein Wesen haben kann. Unabhängig davon, wie man "Wesen" oder "bewusste Erfahrung" definiert.

Aber: Ist die Erfahrung von Bewusstsein auch unabhängig davon, ob bei der Ausführung des Programms, die — wie die Ausführung jedes Programms — in diskreten Schritten abläuft, ein Rechenschritt pro Nanosekunde oder ein Rechenschritt pro Jahr ausgeführt wird? Auch dann, wenn während des Jahres der Computer, auf dem das Programm ausgeführt wird, ausgetauscht und nach Tokio verfrachtet wird? Auch dann, wenn das Ergebnis des Rechenschritts ein Jahr später nicht direkt berechnet wird, sondern bei der Berechnung aller Permutationen der Sequenz von 0en und 1en auftaucht, die die Länge des erwarteten Rechenergebnisses hat?

Stathis Papaiaonnou schreibt an die Singularity-Mailingliste:

If you look at it the right way, anything could be a computation. This has been given by John Searle as a reductio ad absurdum against computationalism, and explored by several other authors (eg. Hilary Putnam, David Chalmers, Greg Egan). The usual counterargument is that in order to map a computation onto an arbitrary physical process, the mapping function must contain the computation already, but this is only significant for an external observer. The inhabitants of a virtual environment will not suddenly cease being conscious if all the manuals showing how an external observer might interpret what is going on in the computation are lost; it matters only that there is some such possible interpretation. Moreover, it is possible to map many computations to the one physical process. In the limiting case, a single state, perhaps the null state, can be mapped onto all computations.

Welche Art von Kontinuität ist für bewusste Erfahrungen nötig?