Gödels erster Unvollständigkeitssatz besagt, dass jedes formale System, das widerspruchsfrei ist und das gewisse elementare Arithmetik erlaubt, unvollständig ist bezüglich der Aussagen dieser Arithmetik. Für ZFC, das Axiomensystem, das die Grundlage für große Teile der Mathematik und damit auch für den mathematischen Teil der Physik bildet, sind die Voraussetzungen für Gödels Unvollständigkeitssatz erfüllt: Wenn das System widerspruchsfrei ist, so ist es unvollständig bezüglich seiner arithmetischen Aussagen. Was bedeutet das für die Physik?

Stanley Jaki und Stephen Hawking argumentieren, dass Gödels Satz (bzw. eine Analogie dazu) impliziert, dass es niemals eine Theory of Everything (TOE) geben kann, eine vereinheitlichte Theorie, die alle physikalischen Phänomene verknüpft und erklärt.

Torkel Franzen dagegen bezweifelt in [1] die Relevanz der arithmetischen Unvollständigkeit für die Aussagen einer solchen Theorie:

Gödel’s theorem only tells us that there is an incompleteness in the arithmetical component of the theory. The basic equations of physics, whatever they may be, cannot indeed decide every arithmetical statement, but whether or not they are complete considered as a description of the physical world, and what completeness might mean in such a case, is not something that the incompleteness theorem tells us anything about.

Die Gödelsche Unvollständigkeit eines formalen Systems bedeutet, dass das System Sätze enthält, die als Aussagen über die natürlichen Zahlen interpretiert werden können und für die aus den Axiomen weder die Sätze selbst noch deren Negationen abgeleitet werden können. Eine widerspruchsfreie TOE, die gewisse elementare Arithmetik erlaubt, würde damit manche Gleichungen prinzipiell nicht entscheiden können.

Die physikalische Welt an sich kennt keinen Status “unentscheidbar” — könnte eine TOE dann nicht ebenfalls ohne einen solchen auskommen? Das würde bedeuten, dass mindestens eine der beiden Voraussetzungen für Gödels Satz in dieser Theorie nicht erfüllt wäre. Da die physikalische Welt auch den Status “widersprüchlich” nicht kennt, bliebe nur, die Annahme aufzugeben, dass die TOE gewisse elementare Arithmetik enthält. Das heißt: Sie dürfte unter keiner Interpretation eine Theorie der natürlichen Zahlen enthalten.

Was bleibt? Erstaunlich viel. Es gibt beispielsweise ein Axiomensystem für die elementare Arithmetik der reellen Zahlen, das vollständig und widerspruchsfrei ist! Die Axiome dieses Systems ermöglichen es nicht, die natürlichen Zahlen als Untermenge herauszupicken. Aber braucht die Physik die natürlichen Zahlen und deren Mathematik? Anders gefragt: Kennt die wirkliche Welt natürliche Zahlen?

Ursprung der Idee: Diskussion im Seminar Weltbilder der Naturwissenschaft nach Lektüre von [1] Gödel’s Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse.

The problem with informal speculation is that it is easy to be unclear in your writing, and being unclear in your writing usually results from being unclear in your thinking.

Take, for example, my last post, where I was speculating about the properties of recursively improving systems. When I wrote that a system cannot predict a system of greater algorithmic complexity, I did not make clear whether I meant that not all systems of a certain greater complexity can be predicted (which is true) or that no system of a certain greater complexity can be predicted (which is false). For a system to improve recursively with respect to some goal in a way that increases its complexity, there is no need for it to be able to predict all systems of a certain greater complexity. Thus, the whole argument breaks down.

The problem with formal argumentation is that, even if you resort only to the most basic rules of logic, what you prove might not be what you intended to prove.

Take, for example, the paragraph above. The claim that some systems can learn to predict systems of higher algorithmic complexity can be proven formally. You define what you mean by “system”, “complexity” and “learn to predict” in mathematical terms, show an example of two systems, one with lower, one with higher algorithmic complexity, and how the former can learn to predict the latter. From now on, you are free to proclaim that there are simple systems that can learn to predict complex systems. Impressive!

Caveat: Do not mention that you were using the standard definition of “learning to predict” which says that a system learns to predict another system if, after a finite number of observations, the system knows all following outputs of the other system. And, please, stay quiet about the fact that the system that was predicted in your proof did not output anything but zeros after a finite time of complex behavior. Otherwise, people might think that what you have shown has little relation to what is usually meant when we talk about “learning to predict” behavior. And, more destroyingly, they would be right.

As soon as the context changes just a little, as soon your assumptions differ just a little, the value of a formal argument immediately becomes negative. Not only does such an argument say nothing about whether a conclusion is true or false, it will also let you sleep soundly, with the security that there is no need to further think about what you know — it is proven.

Informal arguments, on the other side, cannot provide security in the first place. The truth of informal arguments depends on what you mean by the words you use. Different people associate different meanings with different words, and what was once a discussion soon becomes a game for idle linguists — a fact that is painfully clear if you are doing philosophy. When rational people disagree, even after prolonged discussion, you can almost always trace it back to words being used in slightly different ways.

Your blurry, informal argument based on theorems used out of scope might well convince me. At that point, arguing has long stopped being our joint search for truth. Why bother?